Проведено многократное измерение длины детали на вертикальном длиномере, с результатами наблюдений, мм: 6,5531, 6,5532, 6,5515, 6,5523, 6,5525, 6,5542, 6,5525, 6,5530, 6,5584, 6,5531, 6,5535, 6,5537, 6,5541, 6,5542, 6,5514, 6,5546, 6,5523, 6,5552. Известная систематическая погрешность результата измерения равна +0,0002 мм. Основная погрешность измерительного прибора по его паспорту равна (1,2+L/120) мкм. Измерения проводились при нормальных условиях, т.е. дополнительные погрешности равны нулю. Провести обработку результатов с доверительной вероятностью Р = 0,95.
Решение:
1. Исключаем из результатов наблюдений известные систематические погрешности путём введения поправки: Δxпопр = - Δxсист = - 0,0002мм
Исправляем наблюдения: хиспр = х+Δxпопр
Исправленные наблюдения: 6,5529, 6,5530, 6,5513, 6,5521, 6,5523, 6,5540, 6,5523, 6,5528, 6,5582, 6,5529, 6,5533, 6,5535, 6,5539, 6,5540, 6,5512, 6,5544, 6,5521, 6,5550.
Для удобства дальнейшей обработки располагаем наблюдения в вариационном ряду (по возрастанию): 6,5512, 6,5513, 6,5521, 6,5521, 6,5523, 6,5523, 6,5528 6,5529, 6,5529, 6,5530, 6,5533, 6,5535, 6,5539, 6,5540, 6,5540, 6,5544, 6,5550, 6,5582.
2. Рассчитываем среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, которое принимаем за результат многократного измерения (статистическая функция СРЗНАЧ в EXCEL):
хср=6,5533 мм
3. Вычисляем выборочное среднеквадратическое отклонение, СКО (статистическая функция СТАНДОТКЛОН в EXCEL):
s = 0,0016 мм
4. Проверяем наличие грубых ошибок. Принимаем распределение длины нормальным. Для нормального распределения при неизвестной генеральной дисперсии можно использовать критерий Н.В.Смирнова. (Провести расчёт в соответствии с лабораторной работой 4). По результатам расчёта наблюдение, равное 6,5582, исключаем. В результате вариационный ряд: 6,5512, 6,5513, 6,5521, 6,5521, 6,5523, 6,5523, 6,5528 6,5529, 6,5529, 6,5530, 6,5533, 6,5535, 6,5539, 6,5540, 6,5540, 6,5544, 6,5550. При этом объём выборки (количество наблюдений) n=17.
Заново вычисляем хср и s
xср = 6,5530 мм
s = 0,0011 мм
5. Находим СКО результата измерения: SXcр = s/√n = 0,0011/(170,5 )= 0,00026 мм
6. Проверяем гипотезу о соответствии результатов наблюдений нормальному распределению. Для приближённой оценки можно использовать проверку по асимметрии А и эксцессу Е (Провести проверку в соответствии с лабораторной работой 14.
А = 0,043458 Е=-0,51285
D(A)= 0,266667 D(E)= 0,60101
3 корня из D(A)= 1,549193 5 корней из D(E)= 3,876242
Считаем распределение нормальным.
7. Рассчитываем доверительные границы ε случайной погрешности результата измерения при выбранной доверительной вероятности Р (или уровне значимости α = 1 – Р) :
ε = tα,n-1*SXcр, где tα,n-1 – коэффициент Стьюдента (статистическая функция СТЬЮДРАСПОБР в EXCEL). Доверительная вероятность Р = 0,95 (уровень значимости 0,05).
tα,n-1 = t0,05,16= 2,12
ε = 0,00055 мм
8. Рассчитываем границы суммарной неисключённой систематической погрешности (НСП) результата измерения Θ.
В качестве НСП принимаем погрешность длиномера, которая состоит из основной и дополнительных погрешностей. При нормальных условиях дополнительные погрешности равны нулю. Поэтому за НСП измерения принимаем основную погрешность длинномера:
Θ = (1,2+L/120) = 1,25 мкм=0,0013 мм
9. Рассчитываем доверительные границы погрешности результата измерения.
Если Θ/SXcр < 0,8, то НСП можно пренебречь и границы погрешности результата Δ = ± ε
Если Θ/SXcр > 8, можно пренебречь случайной погрешностью, и тогда границы погрешности результата Δ = ± Θ
Если 0,8 < Θ/SXcр < 8, границы погрешности результата измерения рассчитывают по формуле Δ = ±KSΣ
Здесь SΣ – СКО результата измерения, находят из соотношения
SΣ2 = SΘ2 + SXср2
где SΘ = Θ/√3
K = (Θ + ε)/(SΘ + SXср)
В нашем случае Θ/SXcр = 0,0013/0,00026 = 5
Поскольку 0,8 < Θ/SXcр < 8, то Δ = ±KSΣ
SΘ = 0,00075 SΣ = 0,00079 K = 1,83
Δ = ± KSΣ = 0,0014 мм
10. Записывают результат измерения в виде
Хср ± Δ , Р
Если нет данных о виде функции распределения составляющих погрешности результата, или если нужна дальнейшая обработка результата, то результат записывают в виде
Хср, SXcр, n, Θ
В нашем случае:
L = 6,5533±0,0014 мм; Р=0,95;