ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ
Лабораторная работа №1
Точечные и интервальные оценки

Результаты испытаний могут представлять собой выборку значений из дискретной или непрерывной случайной величины. Так, число дефектных изделий в партии, - дискретная случайная величина, поскольку это может быть только целое число. Непрерывная случайная величина может принимать любое значение в некотором интервале, конечном или бесконечном (например, непрозрачность бумаги). При испытаниях часто получают выборку значений непрерывной случайной величины с некоторым распределением вероятности получения тех или иных значений (точнее, интервалов значений). Часто встречается нормальное распределение. Точнее, реальные распределения часто бывают достаточно близки к нормальному.

Параметры нормального распределения – математическое ожидание М и генеральное среднеквадратическое отклонение (СКО) σ (или генеральная дисперсия σ2). Математическое ожидание – это центр группировки результатов испытаний. При отсутствии систематических погрешностей соответствует количественной характеристике объекта испытаний. Дисперсия (или СКО) – мера рассеяния результатов.

Найти значения параметров абсолютно точно невозможно. Но при объёме выборки n 25…30 и более обычно считают, что с достаточной точностью точечные оценки параметров равны параметрам. Кроме того, можно достаточно точно рассчитать генеральную дисперсию при проведении серий испытаний, в которых генеральная дисперсия не меняется (такой расчёт называется вычислением дисперсии по текущим измерениям), например, такой расчёт бывает возможен при приёмо-сдаточных испытаниях.

Применяется также мера рассеяния, называемая коэффициентом вариации. Генеральный коэффициент вариации

     γ=σ/M;               (1.1)

Выборочный коэффициент вариации

рисунок 1.2            (1.2)

Точечная оценка математического ожидания - среднее значение выборки рисунок 1.3 (В Excel рассчитывается по функции СРЗНАЧ):

рисунок 1.4

Точечная оценка генеральной дисперсии - выборочная дисперсия (В Excel находят по функции ДИСП):

рисунок 1.5

По текущим измерениям дисперсию находят так:

рисунок 1.6

Здесь ni – объем испытаний (иначе говоря, объём выборки) в каждой серии, si2 – дисперсии в соответствующих сериях, m – количество серий.

Оценка генерального СКО - выборочное СКО (В MS Excel рассчитывается по функции СТАНДОТКЛОН):

рисунок 1.7

Точечные оценки малоинформативны, поскольку это случайные величины, и они могут заметно отличаться от оцениваемого параметра. Для повышения информативности используют интервальные оценки (рассчитывают доверительные интервалы).

Если генеральная дисперсия σ2 известна достаточно точно, доверительный интервал для математического ожидания находят так:

рисунок 1.8            (1.3)

или

рисунок 1.9

Здесь уровень значимости α=1-Р (Р -доверительная вероятность), z1-α/2 – квантиль стандартного нормального распределения (рассчитывается по функции НОРМСТОБР), n – объём испытаний.

Если генеральная дисперсия неизвестна, доверительный интервал для математического ожидания находят так:

рисунок 1.10

Здесь tα;k – коэффициент Стьюдента (рассчитывается с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР), k=n-1 – число степеней свободы. Для дисперсии доверительный интервал определяют из соотношения:

рисунок 1.11

Здесь χ2 - критерий распределения хи-квадрат (В Excel функция ХИ2ОБР), k=n-1 – число степеней свободы.

Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем интервальную оценку СКО.

Пример 1.1. Проведены испытания образцов дюралюминиевого профиля на разрыв. Полученные значения предела прочности образцов (МПа) приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1.
477443462444445453458472452473
448471459436460466465434466468
456462458478446452451446447462

Найти точечные и интервальные оценки параметров распределения предела прочности при доверительной вероятности 0,95.

Фрагмент выполнения примера 1.1 показан на рис.1.1.

рисунок 1.12

Рис. 1.1. Фрагмент расчёта для примера 1.1.

В ячейки В4:В33 вводим значения предела прочности, в ячейки А4:А33 номера соответствующих данных. В ячейке Е3 рассчитываем объём испытаний (объём выборки) функцией СЧЁТ. При этом в диалоговом окне функции СЧЁТ в строке Значение 1 вводим интервал от В4 примерно до В1000 (не до В33). Это необходимо для того, чтобы электронная таблица была пересчитываема, т.е. при последующем введении других данных в другом количестве (большем или меньшем) все расчётные значения автоматически пересчитывались бы для этих новых данных. Так следует поступать и при использовании других функций.

В ячейку Е4 вводим значение доверительной вероятности. В ячейке Е5 рассчитываем уровень значимости (но не вводим в виде числа, чтобы при другой доверительной вероятности таблица автоматически пересчитывалась).

В ячейках Е7, Е8 и Е9 соответственно рассчитываем среднее значение предела прочности, его СКО и дисперсию по соответствующим статистическим формулам (поставьте размерности). В ячейках D11:D13 и F11:F13 рассчитываем соответственно нижние и верхние границы доверительных интервалов для математического ожидания, дисперсии и СКО. При этом, учитывая, что объём испытаний достаточно велик, т.е. σ примерно равно s, доверительный интервал для математического ожидания рассчитываем по формуле (1.3). При получении значений z и χ2 в диалоговых окнах функций НОРМСТОБР и ХИ2ОБР значения вероятностей следует получать расчётом со ссылками на ячейку, в которой указано значение α, а не вводить в виде чисел, чтобы таблица была пересчитываемой. (Внимание! Адреса ячеек вводить в формулы и строки диалоговых окон надо кликом на эти ячейки, а не с клавиатуры, поскольку ввод с клавиатуры замедляет работу и повышает вероятность ошибок).

Примечания:
1. Доверительный интервал можно вычислить также по статистической функции ДОВЕРИТ.
2. Чтобы ввести в ячейке часть текста в виде верхнего или нижнего индекса, следует в строке формул выделить необходимую часть текста, затем задать для неё верхний индекс командой Формат – Ячейки и отметкой в диалоговом окне Верхний индекс.

Задание.
1. Выполнить расчёты по примеру 1.1. Как изменяются доверительные интервалы (увеличиваются или уменьшаются) при уменьшении доверительной вероятности?
2. Найти точечные и интервальные оценки математического ожидания, дисперсии и СКО некоторой характеристики (табл. 1.2), выборка из которой получена по результатам испытаний.
3. По испытаням выборок из четырёх партий бумаги получены значения разрывной длины образцов бумаги, представленные в табл. 1.3. Определить дисперсию по результатам испытаний всех партий (по текущим измерениям), учитывая, что генеральная дисперсия в разных партиях не меняется. Для партии 4 найти доверительный интервал для математического ожидания, используя рассчитанную дисперсию как генеральную, при доверительной вероятности 0,9.

Таблица 1.2.
Вариант Р Значения характеристики
10,9515,918,316,517,916,318,216,917,616,016,5
20,907,417,507,257,637,557,667,437,38--
30,99796463746071687665-
40,9853,853,154,354,656,454,656,055,355,054,4
50,97831832815823843825818841837-
60,955,65,75,85,45,95,65,55,75,55,7
70,900,550,580,570,560,540,590,560,56--
80,998,58,78,38,78,78,98,48,99,08,6
90,987,337,317,357,287,457,257,197,42--
100,977,516,436,347,386,967,106,887,526,566,77

Таблица 1.3.
Партия Номер образца
12345678910
Разрывная длина, м
13750372038003790395038203870387038503810
23830381038803890403038604000395039303890
338603840391039304080390040103980--
4369036803720372038503740379037903770-

        Далее     Содержание

© В.В. Заляжных
При использовании материалов или ссылке на сайт ставьте индексируемую ссылку.