Лабораторная работа № 10
Критерий омега-квадрат

Результаты располагают в вариационном ряду. Статистику критерия можно рассчитать так:

        (10.1)

Здесь F(x_i) – значения предполагаемой теоретической функции распределения; W=(2i-1)/2n – накопленная частость (Вместо выражения 10.1 могут использоваться и другие формулы).

Расчётное значение сравнивают с табличным ω²_табл, значения которого приведены в табл. 10.1 (при n < 15 эти значения уже заметно отличаются от приведённых в таблице. Кроме того, при малых n очень мала мощность критерия).

Таблица 10.1.

α	0,1	0,05	0,01
ω2табл	0,347	0,461	0,743

Если ω² <= ω²_табл, нулевую гипотезу не бракуют, т.е. распределение считают соответствующим теоретическому с функцией распределения F(x) с известными параметрами при выбранном уровне значимости α.

Если параметры предполагаемого распределения заранее неизвестны, критерий, называемый иногда при этом «критерий типа омега-квадрат», может применяться только для некоторых видов распределений. Вместо параметров используют их выборочные оценки. При этом определяется, принадлежит ли распределение случайной величины некоторому семейству распределений, например, нормальных, равномерных и др. (сложная гипотеза). Статистику критерия для нормального распределения, расположив результаты в вариационном ряду, можно рассчитать так:

        (10.2)

Здесь F(x_i) – значения функции нормального распределения (рассчитывается по функции НОРМРАСП, в строке Интегральная диалогового окна ввести слово ИСТИНА) с параметрами М и σ, соответствующими их оценкам x_ср и s; W=(2i-1)/2n – накопленная частость.

Расчётное значение сравнивают с табличным ω²_табл. Значения ω²_табл зависят от вида распределения. Для нормальных распределений они указаны в табл. 10.2.

Таблица 10.2.

α	0,1	0,05	0,01
ω2табл	0,104	0,126	0,179

Если ω² < ω²_табл, то нулевую гипотезу не бракуют, т.е. распределение считают соответствующим предполагаемому с выбранным уровнем значимости α.

Пример 10.1. При испытаниях образцов алюминиевого сплава получены значения относительного сужения: 0,320 0,327 0,390 0,409 0,285 0,292 0,305 0,308 0,252 0,420 0,340 0,430 0,261 0,310 0,360 0,298 0,299 0,313 0,315 0,290. Проверить гипотезу о нормальном распределении относительного сужения при различных уровнях значимости. Предусмотреть возможность расчёта для объёма испытаний до 1000.

Выполнение примера 10.1 показано на рис. 10.1.

Рис.10.1. Вариант расчёта для примера 10.1.

Поскольку параметры предполагаемого нормального распределения неизвестны, значение критерия рассчитываем по формуле (10.2).

Пример 10.2. При статистической обработке результатов испытаний получена выборка значений величины Х: 0,18 0,11 -0,31 -0,69 -0,35 -0,46 -2,16 -0,33 0,58 1,54 1,32 1,67 -0,77 -0,55 -0,40 -1,48 -1,32 0,89. Проверить гипотезу о том, что Х подчиняется распределению Стьюдента, при различных уровнях значимости. Предусмотреть возможность расчёта для объёма испытаний до 1000.

Выполнение примера 10.2 показано на рис. 10.2.

Рис.10.2. Вариант расчёта для примера 10.2.

Распределение Стьюдента имеет единственный параметр – число степеней свободы k. В данном случае k=n-1, т.е. параметр известен. Поэтому значение критерия рассчитываем по формуле (10.1).

Число степеней свободы возможно рассчитать, но лучше вводить его с клавиатуры, т.к. при решении некоторых других задач оно может рассчитываться по другим зависимостям. Значения функции распределения Стьюдента F(x) в Excel находятся по функции СТЬЮДРАСП. Однако при этом функция СТЬЮДРАСП непосредственно рассчитывается только от неотрицательных аргументов, и притом в виде значений, равных 1- F(x). Для отрицательных аргументов функция распределения Стьюдента может быть найдена по функции СТЬЮДРАСП от модуля аргумента. Поэтому для нахождения функции распределения Стьюдента сначала находим модуль каждого значения выборки (столбец модуль х, функция ABS). Затем находим значения функции СТЬЮДРАСП от модулей значений выборки (столбец F(мод), При этом Хвосты в диалоговом окне принимаем 1, т.е. одностороннее распределение. Наконец, находим значения функции распределения Стьюдента (столбец F), используя функцию ЕСЛИ: если элемент выборки (по существу, квантиль распределения Стьюдента) больше нуля, F = 1 - F(мод), иначе F = F(мод).

Пример 10.3. В результате испытаний получена выборка значений непрерывной случайной величины Х: 2,4 2,6 2,6 2,8 2,9 2,9 2,9 3,6 4,6 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5,2 5,3 5,4 5,7 5,8 5,8 6,0. Проверить при различных уровнях значимости гипотезу о том, что Х подчиняется равномерному распределению с параметрами a = 2, b = 6. Предусмотреть возможность расчёта для объёма испытаний до 1000.

Вид функции равномерного распределения показан на рис 10.3.

Рис.10.3. Вид функции равномерного распределения.

Равномерное распределение имеет параметры a и b.
При х < a         F(x) = 0
При х > b         F(x) = 1
При a < х < b         F(x) = (x-a)/(b-a)

Поскольку параметры a и b известны, значение критерия ω² рассчитываем по (10.1).

Вариант выполнения примера 10.3 показан на рис. 10.4. Значения в столбце (F-W)² рассчитываем с использованием функции ЕСЛИ аналогично примеру 10.2.

Рис.10.4. Вариант расчёта для примера 10.3.

Задание.
1. Провести расчёты по примеру 10.1.
2. Провести расчёты по примеру 10.2.
3. Провести расчёты по примеру 10.3.
4. Результаты расчётов привести в табл. 10.3.

Таблица 10.3

№	Проверяемое распределение	Известны ли параметры (да/нет)	Соответствие проверяемому распределению (+/-)
			α=0,01			α=0,05			α=0,1
			ω2	ω2табл	+ -	ω2	ω2табл	+ -	ω2	ω2табл	+ -
1	Нормальное
2	Стьюдента
3	Равномерное

    Далее             Содержание