Лабораторная работа № 11
Критерий Колмогорова

Критерий Колмогорова (иногда встречается название – критерий Колмогорова-Смирнова) приемлем при n >= 20 для проверки гипотезы, подчиняется ли случайная величина некоторому теоретическому закону распределения, если его параметры предполагаются известными (простая гипотеза). Проверку можно проводить для любого вида распределения. Критерий основан на определении максимального отклонения накопленной частости (эмпирической функции распределения) от предполагаемой теоретической функции распределения.

Результаты располагают в вариационном ряду. Находят верхнюю и нижнюю границы соответствующего отклонения:

рисунок 11.2         при 1 <= i <= n         (11.1)

рисунок 11.1         при 1 <= i <= n         (11.2)

Здесь F(xi) – значения теоретической функции распределения.

Выбирают максимальную из границ отклонений:

рисунок 11.3         (11.3)

Статистику критерия можно рассчитать по формуле

рисунок 11.4         (11.4)

Расчётное значение сравнивают с табличным λтабл. Табличные значения можно найти в табл. 11.1.

Таблица 11.1.
α 0,1 0,05 0,01
λтабл 1,224 1,358 1,628
Если λрасч <= λтабл, то распределение считают соответствующим теоретическому с функцией распределения F(x) с известными параметрами при выбранном уровне значимости α.

Если параметры предполагаемого распределения заранее неизвестны, критерий, называемый при этом «критерий типа Колмогорова» (или "критерий типа Колмогорова-Смирнова"), можно применять только для некоторых видов распределений. Вместо параметров используют их выборочные оценки. При этом оценивают, принадлежит ли распределение случайной величины тому или иному семейству распределений, например, нормальных, равномерных и др. (такая гипотеза называется сложной).Для нормального распределения расчёты проводят в следующем порядке. Результаты располагают в вариационном ряду. Находят Dn по формулам (11.1) – (11.3), с учётом того, что F(xi) – значения функции нормального распределения (функция НОРМРАСП, в строке Интегральная диалогового окна ввести слово ИСТИНА) с параметрами М и σ, соответствующими их оценкам рисунок 11.5 и s; Статистику критерия для нормального распределения можно рассчитать по формуле (11.4).

Расчётное значение сравнивают с табличным λтабл (табл. 11.2).

Таблица 11.2.
α 0,1 0,05 0,01
λтабл 0,835 0,909 1,057
Если λрасч <= λтабл, то нулевую гипотезу не бракуют, т.е. теоретическое распределение считают достаточно хорошей моделью для эмпирического.

Пример 11.1. По данным примера 10.1 по критерию Колмогорова проверить гипотезу о нормальном распределении относительного сужения сплава алюминия при различных уровнях значимости. Предусмотреть возможность расчёта для объёма испытаний до 1000. Вариант выполнения примера 11.1 показан на рис. 11.1.

рисунок 11.6

Рис.11.1. Вариант расчёта для примера 11.1.

Задание.
1. Выполнить расчёты по примеру 11.1.
2. По данным примера 10.2 проверить гипотезу о распределении Стьюдента величины Х при различных уровнях значимости.
3. По данным примера 10.2 проверить гипотезу о нормальном стандартном распределении величины Х при различных уровнях значимости (Функция нормального стандартного распределения находится по статистической функции НОРМСТРАСП, её параметры, М = 0 и σ = 1, вводить с клавиатуры не надо, т.к. они учтены в НОРМСТРАСП).
4. По данным примера 10.2 проверить гипотезу о равномерном распределении величины Х с параметрами a= - 2,2 и b=1,7 при различных уровнях значимости.
5. Привести результаты расчётов в заданиях 1 – 3 в табл. 11.3.

Таблица 11.3.

примера
Прверяемое
распределение
Параметры
распределения
Соответствие предполагаемому распределению
α=0,01 α=0,05 α=0,1
λ λтабл +/- λ λтабл +/- λ λтабл +/-
11.1 Нормальное Неизв.                                                               
10.2 Стьюдента k =                                                               
10.2 Нормальное
Стандартное
М =
σ
=
                                                              
10.2 Равномерное а =
b
=
                                                              

        Далее     Содержание


© В.В.Заляжных При копировании материалов или ссылке на сайт прямая индексируемая ссылка обязательна