Магазин стройматериалов подкровельная пленка цена с доставкой

Лабораторная работа № 12
Проверка нормальности по совокупности выборок

Если объем многократных измерений очень мал (n < 8), достаточно надёжно оценить вид функции распределения характеристики по одной выборке невозможно. Но когда имеются результаты измерений большого числа выборок одного объема n, например, при систематических испытаниях партий продукции, можно проверить гипотезу нормальности независимых генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, даже если параметры функций распределения этих совокупностей неравны.

Для этого из каждой k-й выборки берут случайным образом один результат xik, и рассчитывают для каждой выборки величину

рисунок 12.1

При n = 4 проверяют соответствие распределения τ равномерному распределению с параметрами a = - рисунок 12.2 и b = рисунок 12.2 (о равномерном распределении см. пример 10.3). Если распределение τ равномерное, то исходные генеральные совокупности подчиняются нормальному распределению. Проверку равномерности распределения проводят по любому критерию согласия, например, по критерию омега-квадрат.

При n ≠ 4 вычисляют

рисунок 12.3

Если η (эта) соответствует распределению Стьюдента с числом степеней свободы n-2, то исходные генеральные совокупности подчиняются нормальным распределениям (возможно, с различными параметрами). Проверка проводится по любому критерию согласия, например, по омега-квадрат.

Учитывая лёгкость автоматического пересчёта, целесообразно провести проверку по критерию согласия многократно, каждый раз выбирая случайным образом новые значения xik.

Пример 12.1. Систематически проводили испытания партий бумаги различных марок на воздухопроницаемость. Значение воздухопроницаемости, см3/мин, находили как среднее из пяти определений. Результаты в табл. 12.1.

Табл. 12.1.
№ партии № образца № партии № образца
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 450 465 440 440 470 21 134 140 140 140 134
2 500 490 510 510 510 22 385 365 400 415 375
3 195 185 200 195 190 23 65 68 66 64 63
4 280 270 275 260 275 24 350 375 365 370 380
5 235 240 230 240 235 25 210 220 224 210 228
6 240 230 250 245 245 26 150 166 156 158 160
7 106 106 110 110 110 27 154 158 168 156 154
8 250 250 245 260 245 28 250 260 265 280 270
9 470 480 460 490 485 29 450 390 410 420 410
10 194 184 196 206 206 30 71 75 73 72 77
11 265 270 250 275 275 31 185 198 196 194 206
12 87 92 88 92 90 32 455 440 425 455 440
13 96 96 91 94 97 33 500 480 510 500 500
14 230 236 240 240 236 34 158 148 164 156 156
15 490 470 500 510 500 35 250 240 245 245 230
16 65 64 65 62 62 36 200 208 196 210 204
17 89 92 94 86 89 37 196 208 220 212 214
18 55 55 59 52 51 38 60 63 60 66 57
19 99 100 104 97 95 39 220 220 226 208 206
20 96 96 91 94 97 40 480 470 450 485 460
Проверить, соответствуют ли распределения величин воздухопроницаемости в выборках нормальным при уровне значимости 0,95.

Фрагмент выполнения примера 12.1 показан на рис. 12.1.

рисунок 12.4

Рис. 12.1. Фрагмент выполнения примера 12.1.

Поскольку n ≠ 4, необходимо рассчитать значения η для каждой выборки и оценить соответствие распределения η распределению Стьюдента.

Вводим исходные данные (предусмотреть количество выборок до 1000), по любой из выборок находим объём единичной выборки n (функция СЧЁТ). Для каждой выборки находим среднее значение и выборочное СКО.

Затем из каждой выборки берём одно случайно выбранное значение xik. Для этого по функции СЛЧИС() находим случайное число в диапазоне 0..1. Умножая это число на объём одной выборки, получаем случайное число в диапазоне от 0 до объёма выборки (столбец сл. число). (Изначально полученные случайные числа будут меняться при каждом изменении таблицы, однако это не имеет значения, т.к. всё равно они будут случайными, что и нужно). Округляя это число в сторону увеличения до целого (с использованием функции ОКРУГЛВВЕРХ), получаем случайно выбранный номер элемента выборки (столбец i сл). С помощью функции ИНДЕКС по этому номеру находим значение случайно выбранного элемента выборки. Далее рассчитываем величины τ и η. Диапазон со значениями η копируем в электронную таблицу, в которой по критерию омега-квадрат оценивается соответствие экспериментального распределения распределению Стьюдента (команда Копировать - Специальная вставка - Значения). Перед копированием необходимо временно снять защиту листа, если она была установлена,иначе будет недоступна сортировка η по возрастанию, т.е. в вариационный ряд. Следует также ввести нужные значения числа степеней свободы и уровня значимости.

Пример 12.2. Систематически проводили испытания партий противокоррозионной бумаги различных марок на со-держание ингибитора. Содержание ингибитора в бумаге, г/м2, находили как среднее из четырёх определений. Результаты за некоторый период приведены в табл. 12.2. Проверить, соответствуют ли распределения величин содержания ингибитора в выборках нормальным для уровня значимости 0,95.

Таблица 12.2.
№ партии № образца № партии № образца
1 2 3 4 1 2 3 4
1 7,9 8,1 8,3 8,5 26 4,7 4,5 4,3 4,3
2 7,8 8,1 8,2 8,3 27 8,2 7,9 8,2 8,0
3 9 8,8 8,6 8,6 28 8,3 7,9 8,2 8,4
4 3,6 3,5 3,8 3,8 29 8,8 9,0 8,7 8,8
5 7,7 7,8 7,5 7,9 30 3,7 3,6 3,8 3,7
6 3,8 3,7 3,9 3,9 31 8,8 8,7 8,4 8,5
7 4,1 4 3,9 3,9 32 3.8 3,8 4 3,9
8 9,2 9,1 9,1 9,2 33 4,1 4,1 3,9 4,1
9 8,8 8,7 8,8 8,9 34 9,4 9,1 9,3 9,2
10 3,7 3,6 3,5 3,7 35 8,6 8,7 8,8 8,9
11 3,8 3,8 3,8 3,9 36 3,6 3,6 3,5 3,7
12 3,0 3,2 3,1 2,9 37 3,9 3,8 3,8 3,9
13 3,7 3,6 3,5 3,6 38 2,9 3,2 3,1 2,9
14 3,5 3,6 3,5 3,7 39 3,7 3,6 3,6 3,4
15 3,4 3,5 3,6 3,6 40 3,5 3,3 3,5 3,7
16 8,4 8,2 8,3 8,3 41 3,4 3,5 3,6 3,6
17 8,7 8,9 8,9 8,6 42 8,4 8,4 8,3 8,4
18 9,1 9,2 9,3 9,2 43 8,7 8,9 8,8 8,6
19 9,1 9,1 9 9 44 9,2 9,4 9,3 9
20 3,8 3,8 3,6 3,6 45 9,1 9 8,8 9,2
21 3,5 3,6 3,7 3,6 46 3,8 3,8 3,6 3,6
22 3,4 3,4 3,4 3,3 47 3,5 3,6 3,7 3,6
23 4,1 4,1 4,3 4,1 48 3,4 3,4 3,4 3,3
24 2,8 2,9 3 3 49 4,1 4,1 4,2 3,9
25 3,6 3,6 3,7 3.7 50 2,8 2,8 3,1 3
Поскольку n = 4, необходимо оценить соответствие распределения величины τ равномерному распределению.

Диапазон со значениями τ копируем в электронную таблицу, где по критерию омега-квадрат оценивается соответствие экспериментального распределения равномерному (команда Копировать - Специальная вставка - Значения). Перед копированием временно снять защиту листа (если она установлена), иначе будет недоступна сортировка τ по возрастанию, т.е. в вариационный ряд. Следует также ввести нужные значения параметров равномерного распределения и уровня значимости.

Задание.
1. Выполнить расчёты по примеру 12.1. Для различных уровней значимости провести проверку нормальности десять раз при изменяющихся случайных числах. Результаты внести в табл. 12.3.

Табл. 12.3.

проверки
Соответствие воздухопроницаемости нормальному распределению (+/-)
α = 0,01 α = 0,05 α = 0,1
ω2 ω2табл +/- ω2 ω2табл +/- ω2 ω2табл +/-
1                              
2                              
3                              
4                              
5                              
6                              
7                              
8                              
9                              
10                              
% для +                              

2. Выполнить расчёты по примеру 12.2. При различных уровнях значимости провести проверку нормальности десять раз при изменяющихся случайных числах. Результаты внести в табл. 12.4.

Табл. 12.4.

проверки
Соответствие воздухопроницаемости нормальному распределению (+/-)
α = 0,01 α = 0,05 α = 0,1
ω2 ω2табл +/- ω2 ω2табл +/- ω2 ω2табл +/-
1                              
2                              
3                              
4                              
5                              
6                              
7                              
8                              
9                              
10                              
% для +                              

        Далее     Содержание

© В.В.Заляжных