Лабораторная работа № 2
Определение объёма испытаний (объёма выборки)

Если испытания проводят для оценки математического ожидания, то при нормальном распределении характеристики минимально необходимый объем испытаний можно найти из соотношения:

        (2.1)

или

        (2.2)

Здесь γ - генеральный коэффициент вариации (см. формулу 1.1), z – квантиль стандартного нормального распределения, α=1-P - уровень значимости (Р - доверительная вероятность) Δ_М – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке математического ожидания в долях математического ожидания (или среднего значения), δ_М – максимальная ошибка (допуск) при оценке математического ожидания в долях среднеквадратического отклонения.

Чаще всего генеральный коэффициент вариации неизвестен, и его заменяют выборочным коэффициентом вариации υ (ипсилон, см. формулу 1.2), полученным по предварительной информации по аналогичным объектам. Если такой информации нет, задают и уточняют в процессе эксперимента. При этом объем испытаний корректируют по формуле

            (2.3)

Здесь t_α,k - коэффициент Стьюдента (функция СТЬЮДРАСПОБР), k = n – 1 – число степеней свободы.

Допуск выбирают в зависимости от требуемой точности:
Низкая точность: Δ_М=γ         δ_М=1
Средняя точность: Δ_М=(0,4..0,5)γ         δ_М=(0,4..0,5)
Высокая точность: Δ_М=(0,2..0,3)γ         δ_М=(0,2..0,3)

Пример 2.1: Определить необходимый объем испытаний для оценки математического ожидания некоторой хатрактеристики, если уровень значимости α = 0,1 и допуск Δ_М= 0,02. Данные о коэффициенте вариации отсутствуют.

Фрагмент выполнения примера 2.1 показан на рис.2.1.

Рис. 2.1. Фрагмент расчёта для примера 2.1.

Задаемся, при средней точности, допуском Δ_М = 0,5γ, и, соответственно, δ_М = 0,5. В ячейки А4, А5 и А6 вводим обозначения исходных данных α=, Δ_М= и δ_М=, а в ячейки В4, В5 и В6 соответствующие значения. Приняв среднюю точность, вводим для δ_М значение 0,5. Рассчитываем γ = Δ_М/δ_М. Находим z_1-α/2

Рассчитываем необходимый объём испытаний n по формуле (2.1). При этом, поскольку n должен быть целым числом, притом не меньшим, чем рассчитанное по (2.1) (чтобы обеспечить требуемую точность), необходимо значение, полученное по формуле (2.1), округлить до ближайшего большего целого (функция ОКРУГЛВВЕРХ). В результате расчёта получаем n = 11.

Допустим, по испытаниям 11-ти образцов выборочный коэффи-циент вариации υ = 0,051, что больше заданного γ. Тогда надо провести корректировку необходимого объема испытаний, т.е. увеличить его. Задаем υ = 0,051 в ячейке В14 и n = 12 в ячейке В15. Находим t_0,1;11 = 1,795884 в ячейке В16. При этом в диалоговом окне функции СТЬЮДРАСПОБР в строке Вероятность делаем ссылку на значение α, а в строке Степени свободы рассчитываем k со ссылкой на заданное значение n.

После этого в ячейке В17 находим Δ_М из формулы (2.3). Если рассчитанный допуск будет больше заданного, необходимо задаваться ещё более высоким значением n, пока рассчитанное значение Δ_М не станет меньше или равно заданному. В этом случае заданное значение n принимаем как минимально необходимый объём испытаний.

Рассчитанное значение Δ_М можно сравнивать с заданным непосредственно, но для удобства это лучше сделать с помощью логической функции ЕСЛИ. Для этого в ячейку В18 вводим функцию ЕСЛИ. В диалоговом окне этой функции в строке Лог_выражение вводим необходимое логическое выражение, делая ссылки на соответствующие ячейки: B17>B5. В строке Значение_если_истина вводим фразу «Увеличить объём испытаний», в строке Значение_если_ложь вводим фразу "Объём испытаний достаточен". Если логическое выраже-ние будет истинно, в ячейке В18 появится фраза «Увеличить объём испытаний». При этом в ячейке В15 задаём более высокое значение n, лучше всего на 1 больше. Так увеличиваем n до тех пор, пока не получим фразу "Объём испытаний достаточен".

Так, в нашем примере при n = 12 получаем Δ_М=0,02644 и вывод «Увеличить объём испытаний». Постепенно увеличивая n, получим минимально необходимый объём испытаний, и, соответственно, сколько образцов ещё надо испытать дополнительно к уже испытанным 11. Следует отметить, что после испытаний дополнительных образцов следует пересчитать выборочный коэффициент вариации и, подставив его значение в электронную таблицу, оценить, действиельно ли объём испытаний достаточен.

Если испытания проводят для оценки генерального среднеквадратичного отклонения σ (или генеральной дисперсии σ²) характеристики, то минимально необходимый объём испытаний (объём выборки) находят по формуле

                (2.4)

Здесь Δ_σ – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке среднеквадратического отклонения в долях СКО;  χ²_α/2;k и χ²_0,5;k - квантили распределения Пирсона (или хи-квадрат распределения, ХИ2ОБР).

Допуск выбирают в зависимости от требований точности.
При низкой точности Δ_σ = 0,4...0,5
При средней точности Δ_σ = 0,25...0,35
При высокой точности Δ_σ = 0,1...0,2

Для определения минимального объёма испытаний подбирают χ²_α/2;kи χ²_0,5;k с таким числом степеней свободы k при принятом α, чтобы выполнялось равенство (2.4). По найденному числу степеней свободы находят объем испытаний.

Пример 2.2. Определить минимально необходимый объем ис-пытаний для оценки среднеквадратического отклонения некоторой характеристики при средней точности и доверительной вероятности 0,95.

Фрагмент выполнения примера 2.2 показан на рис.2.2.

Рис. 2.2. Фрагмент расчёта для примера 2.2.

Вводим исходные данные в ячейки В3 и В4. При этом принимаем, для средней точности, Δ_σ = 0.3. Рассчитываем уровень значимости. Находим левую часть уравнения (2.4).

Далее возможно задать некоторое значение объёма испытаний, рассчитать правую часть уравнения (2.4), и затем подобрать минимально необходимый объём испытаний, соответствующий минимуму разности между левой и правой частями уравнения (2.4). Однако для автоматического определения необходимого объёма испытаний при вводе новых исходных данных лучше поступить так.

Вводим пять столбцов, для k, χ²_α/2;k и χ²_0,5;k χ²_α/2;k/χ²_0,5;k, а также для модуля (функция ABS) разности между левой и правой частями уравнения (2.4). В столбце для k вводим возможные значения степеней свободы: 1, 2, 3 и т.д., например, до 500. Для этого можно исполь-зовать команду Заполнить – Прогрессия. В остальных столбцах рассчитываем соответствующие значения, в тех же диапазонах, что и k.

Например, в столбце χ²_α/2;k рассчитываем значение при k = 1 (ячейка Е4 на рис. 2.2), при этом в строках диалогового окна функции ХИ2ОБР вводим ссылку на k и формулу для расчёта α/2 со ссылкой на ячейку со значением α. Формулу из ячейки E4 копируем в диапазон Е4:E503 (этот диапазон соответствует диапазону значений k при максимальном k = 500). Однако сначала надо задать в формуле абсолютную адресацию для ячейки, в которой находится значение Α, поскольку при копировании ссылка на эту ячейку не должна меняться. Для задания абсолютной адресации перед именами строк и столбцов следует ввести символ $. Это можно сделать в строке формул вводом с клавиатуры, но более эффективно в строке формул выделить адрес нужной ячейки, нажать клавишу F4, а затем Enter. В результате, например, в ячейке Е4 должна быть получена формула =ХИ2ОБР($B$6/2;D4).

Получив значения в столбцах, следует найти номер строки, в которой находится минимальное значение модуля разности между левой и правой частями уравнения (2.4). По номеру строки можно найти число степеней свободы, а по нему – минимально необходимый объём испытаний.

Номер строки находится с использованием применяемого в Excel понятия массива. Для этого в ячейке, например, А9 вводим Строка =, в ячейке В9 вводим формулу:

=МИН(ЕСЛИ(H4:H503=МИН(H4:H503);СТРОКА(H4:H503);" "))

После этого, чтобы данная формула была формулой массива, нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (формула CSE), после чего формула будет заключена в фигурные скобки. Фигурные скобки указывают, что это формула массива. Следует иметь в виду, что ввод фигурных скобок с клавиатуры не даст нужного результата. Кроме того, при каждом переводе курсора в строку формулы массива необходимо заново нажимать CTRL+SHIFT+ENTER, иначе формула уже не будет восприниматься как формула массива. Эта формула массива работает так: в результате выполнения функции ЕСЛИ создается новый массив, соответствующий диапазону Н4:Н503. Если некоторая ячейка содержит минимальное значение в диапазоне (по внутренней функции МИН), массив будет содержать номер этой строки. Иначе массив содержит пустую строку (" "). Внешняя функция МИН использует полученный массив в качестве своего второго аргумента и выдаёт номер строки с минимальным значением в диапазоне Н4:Н503. Если диапазон Н4:Н503 содержит несколько одинаковых минимальных значений, формула выдаёт наименьший номер строки. Далее по номеру строки рассчитывают число степеней свободы и минимально необходимый объем испытаний для оценки среднеквадратического отклонения. В частности, для нахождения числа степеней свободы от найденного номера строки отнимают 3, поскольку значения в столбцах начинаются только с четвёртой строки.

Задание.
1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 2.1.
2. Выполнить расчёты в соответствии с примером 2.2. Определить при этом минимально необходимый объём испытаний.
3. Рассчитать таблицу минимально необходимых объёмов испытаний для оценки математического ожидания при α, γ и Δ_М, указанных в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Вариант	Уровень значимости	ΔМ	Генеральный коэффициент вариации
			Минимальный	Максимальный	Шаг
1	0,05	0,01	0,01	0,2	0,005
2	0,1	0,02	0,02	0,3	0,005
3	0,05	0,03	0,01	0,2	0,005
4	0,1	0,04	0,02	0,3	0,005
5	0,05	0,05	0,01	0,2	0,005
6	0,1	0,01	0,02	0,3	0,005
7	0,05	0,02	0,01	0,2	0,005
8	0,1	0,03	0,02	0,3	0,005
9	0,05	0,04	0,01	0,2	0,005
10	0,1	0,05	0,02	0,3	0,005

        Далее     Содержание
© В.В.Заляжных
При использовании материалов, пожалуйста, ставьте прямую индексируемую ссылку на сайт