Смотрите муфты desch на нашем сайте.

Лабораторная работа № 22
Критерий Смирнова

Далее   Содержание
При проверке полной однородности двух выборок, т.е. гипотезы о том, что две выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности, можно проверить равенство математических ожиданий по критерию Стьюдента и равенство дисперсий по критерию Фишера. При равенстве математических ожиданий и дисперсий проверяемая гипотеза не отклоняется, т.е. можно допустить, что выборки взяты из одной генеральной совокупности. Но такой подход возможен, только если предполагается нормальное распределение.

При произвольном распределении (в том числе и нормальном) можно использовать непараметрические критерии, которые не учитывают вид функции распределения. К таким критериям при проверке однородности относятся критерии Смирнова, Лемана-Розенблатта, Манна-Уитни (другое название - критерий Вилкоксона) и другие. Наиболее часто используют критерий Смирнова.

Критерий Смирнова (встречается также название «двухвыборочный критерий Колмогорова-Смирнова») применяется для проверки однородности двух выборок, т.е. гипотезы о том, что выборки взяты из одной и той же генеральной cовокупности. Основан на сопоставлении накопленных частостей (эмпирических функций распределения), рассчитанных в двух выборках по всем значениям обоих выборок. Находят максимальную по модулю разность накопленных частостей выборок и сравнивают её с критическим значением.

Пусть имеются две независимые выборки объёмами n и m: x1, ..., xi, ..., xn и y1, ..., yi, ..., ym Теоретические функции распределения соответственно F1 (z) и F2(z). Проверяется нулевая гипотеза, что F1 (z) тождественна F2 (z), т.е. выборки принадлежат к одной генеральной совокупности. По критерию Смирнова находят

D = max|W1(z) –W2(z)|

Здесь W1(z) и W2(z) - накопленные частости для первой и второй выборок по вариационному ряду всех значений обеих выборок. Если DD , гипотезу о тождественности выборок не отвергают, т.е. принимают на уровне значимости .

Критическое значение

рисунок 22.2

λ при n+m > 35 - табличное значение критерия Колмогорова, табл. 11.1. При меньших n+m находят λ из таблиц (Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. – 416 с.).

Пример 22.1. . Образцы некоторого сплава испытывали на растяжение как как после естественного старения (выборка 1), так и после искусственного старения (выборка 2). В момент разрыва образцов их относительное сужение, %, составляло:
Выборка 1: 30,4  22,9  30,7  28,2  32,1  28,7   29,3  22,0  30,5  30,5  30,1  28,3  24,9  31,1  35,6  31,2  30,v5  30,6  31,1  29,9
Выборка 2: 32,8  31,6  27,7  28,7  28,6 32,1  32  30,2  32,3  31,9  31,2  31,4  30,7  26,7  31,8  29,8  31,5  24,0
Проверить гипотезу о том, что относительное сужение не зависит от вида старения сплава, т.е. выборки принадлежат одной генеральной совокупности, при уровне значимости 0,05.

Распределение относительного сужения мало изучено, нет достаточных оснований принимать его нормальным. Поэтому используем непараметрический критерий. Выбираем критерий Смирнова.Выполнение примера 22.1 в MS Excel показано на рис. 22.1.

рисунок 22.1

Рис. 22.1. Вариант расчёта для примера 22.1.

После ввода исходных данных находим n и m по формуле СЧЁТ (целесообразно, чтобы диапазоны во всех формулах охватывали примерно до 1000 ячеек для автоматического пересчёта при вводе других данных). Вводим табличные значения λ при уровнях значимости 0,01, 0,05 и 0,1, а также величину заданного уровня значимости (для этого расчёта 0,05).

Определяем табличное значение λ, соответствующее введённому уровню значимости, в ячейке Е11 по функции ЕСЛИ. Для этого в диалоговом окне этой функции вводим логическое выражение Е10=0,01. В строке Значение_если_истина ссылаемся на ячейку Е7, содержащую соответствующее значение. Если логическое выражение В строке Значение_если_ложь вводим вторую функцию ЕСЛИ (для этого надо открыть список в левой верхней части электронной таблицы нажатием на чёрный треугольник, выбрать Другие функции... и затем ЕСЛИ). В открывшемся при этом новом диалоговом окне вводим логическое выражение Е10=0,05. В строку Значение_если_истина нового диалогового окна ссылаемся на ячейку, содержащую табличное значение при уровне значимости 0,05. В строке Значение_если_ложь вводим третью функцию ЕСЛИ (открыть список в левой верхней части электронной таблицы, выбрать Другие функции… и затем ЕСЛИ). В открывшемся при этом новом диалоговом окне в строку Значение_если_истина вводим логическое выражение Е10=0,1. Если введённый в ячейку Е10 уровень значимости не равен ни одному из используемых, расчёт будет ошибочным. Поэтому в строке Значение_если_ложь третьего диалогового окна вводим сообщение НЕВЕРНО. В результате в Е10 будет выводиться значение λ, соответствующее выбранному .

Далее все значения двух выборок располагаем в один вариационный ряд (по возрастанию, «ряд 1») в столбце F. Для этого в F4 вводим формулу =НАИМЕНЬШИЙ($B$4:$C$1003;A4) и копируем её до F1003. Но в таком вариационном ряду могут встречаться по несколько одинаковых значений, если они есть в выборках. При дальнейших расчётах это приведёт к ошибкам, поскольку одни и те же частоты будут рассчитываться несколько раз. Поэтому в столбце G создаём «ряд 2», в котором повторяющиеся значения заменены символом «х», используя формулу ЕСЛИ.

В столбцах H и I рассчитываем частоты появления значений ряда 2 в выборках 1 и 2 по формуле СЧЁТЕСЛИ. В столбцах J и K рассчитываем накопленные частоты. Для этого в J4 и K4 копируем первые значения частот (формулы =H4 и =I4). В J5 и K5 рассчитываем накопленные частости, например, в J5 по формуле =J4+H5. Затем J5 и K5 копируем дальше.

Далее находим:
- в столбцах L и M накопленные частости W1 и W2 как отношения накопленных частот к объёмам выборок
- в столбце N абсолютные значения (формула ABS) разностей накопленных частостей
- В ячейке Е14 значение D по формуле МАКС.
В Е15, используя формулу ЕСЛИ, выводим сообщение «функции совпадают» или «функции не совпадают».

Задание.
1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 22.1.
2. Проверить однородность выборок при различных уровнях значимости.
3. Добавить результаты дополнительных испытаний: в 1ю выборку 21,1 и 20,2, во 2ю выборку 34,2. Проверить однородность выборок при различных уровнях значимости.


        Далее     Содержание
© В.В.Заляжных
При использовании материалов ссылка обязательна
Рейтинг@Mail.ru