Лабораторная работа № 9
Критерий Шапиро-Уилка

Далее   Содержание               
Для проверки гипотезы о распределении непрерывной случайной величины применяются статистические критерии двух классов: общие критерии согласия и специальные критерии согласия.

Общие критерии согласия, например, омега-квадрат, Андерсона-Дарлинга, Колмогорова, могут использоваться для проверки гипотезы о согласии реального распределения с любым предполагаемым теоретическим распределением - нормальным, равномерным, экспоненциальным и т.д.

Специальные критерии применяют для оценки согласия реального распределения с определённым видом теоретического распределения. Например, для нормального распределения применяют критерии Шпигельхальтера, Гири и другие, для равномерного - критерии Шермана, Ченга-Спиринга и другие. Критерий Шапиро-Уилка является специальным критерием нормальности и используется для проверки гипотезы о нормальном распределении. Этот критерий надёжен при 8<=n<=50 (существует модифицированный критерий Шапиро-Уилка, применимый при n до 2000).

При использовании критерия Шапиро-Уилка результаты испытаний располагают в вариационный ряд. Расчётное значение критерия получают по формуле:

Wрасч =B2/S2

Здесь S2 - сумма квадратов отклонений значений выборки от среднего арифметического:

Значение B2 находят по формуле
где i – номер элемента в вариационном ряду. В формуле (1) учитывается только целая часть от n/2. Значения ai находят из таблиц. Однако при автоматизированной обработке данных удобнее рассчитать их* по приближённым формулам:
ai=a0[z+1483/(3-z)10,845+71,6*10-10/(1,1-z)8,26]
где
a0=0,899/(n-2,4)0,4162-0,02
z=(n-2i+1)/(n-0,5)

Рассчитанное значение Wрасч сравнивают с табличным Wтабл. Если

Wрасч > Wтабл,          (2)
гипотезу нормальности распределения не отвергают (принимают на заданном уровне значимости α). Следует отметить, что в большинстве статистических критериев, наоборот, если расчётный критерий больше табличного, гипотезу нормальности (вообще нулевую гипотезу) отвергают.

Табличные значения критерия Wтабл в зависимости от уровня значимости α находят из таблиц, однако с приемлемой точностью их можно найти по зависимостям, показанным в табл. 9.1.

Таблица 9.1.
α Wтабл
0,01 (-0,0148n4 + 2,1875n3 - 122,61n2 + 3257,3n + 55585)/100000
0,05 (-0,0113n4 + 1,656n3 - 91,88n2 + 2408,6n + 67608)/100000
0,1 (-0,0084n4 + 1,2513n3 - 70,724n2 + 1890n + 73840)/100000

Пример 9.1. При испытаниях получены значения относительного сужения образцов сплава: 0,251 0,280 0,285 0,290 0,292 0,298 0,29 0,305 0,308 0,312 0,313 0,315 0,330 0,333 0,340 0,357 0,380 0,401 0,410 0,452. Проверить гипотезу нормальности распределения сужения по критерию Шапиро-Уилка.

Вариант выполнения примера 9.1 показан на рисунке 9.1.

рисунок 9.1

Рис. 9.1. Вариант расчёта для примера 9.1.

Вводим в электронную таблицу уровень значимости и результаты испытаний, упорядочиваем их в вариационном ряду по возрастанию. При этом номера значений i вводим от 1 до 50.Далее при расчётах в статистических функциях вводим такие диапазоны, чтобы электронная таблица правильно пересчитывалась при объёмах выборки до n=50. Используем также абсолютную адресацию при необходимости.

Рассчитываем:
- объём выборки (функция СЧЁТ);
- сумму квадратов отклонений от среднего арифметического (КВАДРОТКЛ);
- столбец Xn-i +1 (функция НАИБОЛЬШИЙ);
- столбец Xn-i+1-Xi, использованием функции ЕСЛИ, т.е. если i <= n/2, значение равно нулю. Это необходимо, чтобы таблица правильно пересчитывалась при вводе выборок разных объёмов;
- столбец z;
- значение a0;
- столбец ai;
- столбец ai*(Xn-j+1-Xi);
- значение B2;
- табличные значения W для уровней значимости 0,01, 0,05 и 0,1 по формулам табл. 9.1.

Из табличных значений W выбираем в ячейке D12 необходимое Wтабл в соответствии с заданным уровнем значимости, используя трижды функции ЕСЛИ, аналогично тому, как это описано в лабораторной работе №6 "Критерий Ирвина". В случае, если уровень не соответствует ни одному из предлагаемых, предусматриваем вывод сообщения ИЗМЕНИТЬ УР.ЗН.

Затем, если n < 8, с помощью функции ЕСЛИ (в примере в ячейку C15) выводим сообщение «ВЫБОРКА СЛИШКОМ ВЕЛИКА». При ложности этого логического выражения используем в строке Значение_если_ложь функцию ЕСЛИ для сравнивания Wрасч и Wтабл, и в зависимости от истинности или ложности логического выражения выводим сообщение, является ли распределение нормальным. В результате должно выводиться одно из трёх сообщений: ВЫБОРКА СЛИШКОМ МАЛА; РАСПРЕД. НОРМАЛЬНОЕ; РАСПРЕД. НЕ НОРМАЛЬНОЕ.

При правильном выполнении электронная таблица должна верно пересчитываться при вводе других данных в пределах применимости критерия Шапиро-Уилка.

Задание.
1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 9.1.
2. По данным примера 1.1 проверить при различных уровнях значимости гипотезу о нормальности распределения предела прочности на разрыв алюминиевого сплава.
---------------------------------------------
*Казакявичюс К.А. Приближённые формулы для статистической обработки результатов механических испытаний // Заводская лаборатория. 1988.. т.5, №12. С.82-85.

        Далее     Содержание

© В.В.Заляжных
Комментарии направлять на zаlvladimir@yandex.ru
При использовании материалов, пожалуйста, ставьте ссылку
Рейтинг@Mail.ru