Курсы Испанского.

Аппроксимация табличных значений критерия Ирвина
В.В. Заляжных

На страницах http://arhiuch.ru/st7.html и http://arhiuch.ru/st8.html приведены табличные значения (процентные точки) критерия Ирвина для первого и второго значений вариационного ряда при расчётах по генеральному или по выборочному среднеквадратическому отклонению (СКО). Однако в таблицах указаны процентные точки критерия не для всех объёмов выборок, что создаёт определённые неудобства при пользовании ими. Кроме того, таблицы неудобны при автоматизированной обработке данных. Таким образом, полезна была бы аппроксимация табличных значений уравнениями, достаточно точно моделирующими их.

Аппроксимацию проводили в MS Excel, добавляя линии тренда (экспоненциальную, логарифмическую, полиномиальную, степенную) на точечные диаграммы.

Аппроксимация с использованием диаграмм с координатными осями «объём выборки n – процентная точка» не даёт сколько-нибудь приемлемой достоверности аппроксимации. Поэтому вместо объёма выборки использовали простейшие функции от него – логарифмическую или степенную. Подбор функции показал, что наиболее высокую достоверность аппроксимации можно получить при возведении объёмов выборки в степень минус 0,5. При этом хорошая аппроксимация получается полиномом пятой степени. Но использовали полином шестой степени, поскольку он даёт немного более высокуюдостоверность аппроксимации (для всех полученных уравнений более 0,998) и несколько меньшие отклонения от табличных значений, что важно прежде всего для наименьших объёмов выборок. При таких объёмах выборок даже сравнительно небольшие отклонения от табличных значений могут приводить к значительным изменениям уровня значимости по сравнению с выбранным, как это показано на странице http://arhiuch.ru/st9.html.

Пример такой аппроксимации показан на рис. 1.

рисунок st10-1

Рисунок 1. Пример аппроксимации табличных значений критерия Ирвина.

Полученные уравнения аппроксимации табличных значений в зависимости от объёма выборки n, а также их характеристики для различных уровней значимости α, приведены в табл. 1. Ошибки аппроксимации рассчитывали как модули разностей между табличными значениями и рассчитанными по уравнениям.

Таблица 1 - Аппроксимация табличных значений критерия Ирвина.
αУравнение аппроксимации Ошибка аппроксимации
МаксимальнаяСредняяПри nmin
Первое значение вариационного ряда; генеральное СКО; nmin = 2
0,01-36,54n-3 + 121,28n-2,5 - 140,118n-2 + 79,901n-1,5 - 23,21n-1 + 5,789n-0,5 + 1,0594 0,005300,001990,00041
0,0515,85*n-3 - 10,38*n-2,5 - 14,83*n-2 + 22,112*n-1,5- 9,633*n-1 + 3,681*n-0,5 + 0,727 0,006570,002680,00006
0,1 23,18*n-3 - 17,31*n-2,5 - 15,45*n-2 + 23,165*n-1,5 - 9,283*n-1 + 3,174*n-0,5 + 0,562 0,008830,003360,00008
Первое значение вариационного ряда; выборочное СКО; nmin = 3
0,01 -205,06n-3 + 424,26n-2,5 - 352,483n-2 +143,747n-1,5 - 33,401n-1 +6,381n-0,5 + 1,049 0,006750,002160,00023
0,05 -229,21n-3 + 422,39n-2,5 - 320,96n-2 +124,594n-1,5 - 26,15n-1 +4,799n-0,5 + 0,7029 0,006970,002370,00009
0,1 -132,78n-3 + 224,24n-2,5 - 165,27n-2 +68,614n-1,5 - 16,109n-1 +3,693n-0,5 + 0,549 0,004260,001770,00004
Второе значение вариационного ряда; генеральное СКО; nmin = 3
0,01 117,48n-3 - 92,61n-2,5 - 5,35n-2 +34,013n-1,5 - 13,027n-1 + 4,008n-0,5 + 0,5667 0,008650,003070,00008
0,05 206,8n-3 - 263,514n-2,5 + 118,48n-2 - 11,74n-1,5 - 4,052n-1 + 2,575n-0,5 + 0,3745 0,008560,002620,00042
0,1 -52,72n-3 + 167,802n-2,5 -152,548n-2 + 66,753n-1,5 - 14,333n-1 + 2,738n-0,5 + 0,278 0,005510,002610,00013
Второе значение вариационного ряда; выборочное СКО; nmin = 3
0,01 -0,72n-3 + 41,17n-2,5 - 69,376n-2 + 43,647n-1,5 - 13,009n-1 + 3,77n-0,5 + 0,574 0,005000,001910,00009
0,05 -95,52n-3 + 192,94n-2,5 - 156,259n-2 + 67,352n-1,5 - 14,78n-1 + 3,122n-0,5 + 0,365 0,007910,002690,00006
0,1 -179,29n-3 + 356,292n-2,5 - 273,54n-2 + 108,112n-1,5 - 21,504n-1 + 3,281n-0,5 + 0,265 0,005370,002280,00011

Как видно из таблицы 1, ошибки аппроксимации близки к максимально возможным ошибкам округления табличных значений до второго десятичного разряда, равным 0,005. При этом ошибки аппроксимации для наименьших объёмов выборки намного меньше 0,005. Округление до второго десятичного разряда, как показано на странице http://arhiuch.ru/st9.html, приемлемо (может приводить лишь к небольшим изменениям уровней значимости).

Вывод: полученные уравнения аппроксимации, приведённые в табл.1, могут использоваться при расчёте табличных значений критерия Ирвина.

        Далее     Содержание

© В.В. Заляжных
При копировании материалов прямая индексируемая ссылка на сайт обязательна