Мощность пар критериев при оценке равномерности распределения
В.В. Заляжных

Продолжение. Начало на Равномерность распределения. Оценка по двум критериям. .

Мощности пар критериев при альтернативных гипотезах Н1, Н2 или Н3, приведённые в таблицах 3 и 4, в большинстве случаев меньше, чем у наиболее мощного критерия пары или равны. Но в некоторых случаях мощность пары больше, чем мощности составляющих пару критериев. Эти случаи показаны в табл. 5.

Таблица 5 - Пары критериев, превышающие по мощности наиболее мощный критерий пары. Объём выборки 20
Альтернативная
гипотеза
Уровень значимости Пара критериев
Наиболее мощный критерий пары
Обозначение Мощность Обозначение Мощность
Н1 0,01 ШЕР | ZC(O) 0,015 ШЕР 0,009
ФР ) АД(O) 0,005 ФР 0,004
ФР | ZC(O) 0,006 ФР 0,004
АД | ZC(O) 0,005 АД 0,003
0,05 ШЕР | ФР(O) 0,059 ШЕР 0,045
ШЕР | ZC(O) 0,081 ZC 0,068
ZC | ШВ(O) 0,163 ШВ 0,142
0,1 ШЕР | ФР(O) 0,122 ФР 0,093
ШЕР | АД(O) 0,107 ШЕР 0,091
ZC | ШВ(O) 0,280 ШВ 0,233
0,15 ШЕР | ФР(O) 0,182 ФР 0,162
ШЕР | АД(O) 0,166 АД 0,140
ZC | ШВ(O) 0,369 ШВ 0,309
Н2 0,01 ШЕР |ШВ(O) 0,023 ШЕР 0,022
0,05 ШЕР | ШВ(O) 0,091 ШЕР 0,087
ФР | ZC(П) 0,170 ZC 0,167
АД | ZC(П) 0,174 ZC 0,167
0,1 ШЕР | ШВ(O) 0,162 ШЕР 0,156
ФР | ZC(П) 0,253 ZC 0,247
АД |ZC(П) 0,260 АД 0,253
0,15 ШЕР | ШВ(O) 0,225 ШЕР 0,219
ФР | ZC(П) 0,321 ZC 0,310
АД | ZC(П) 0,326 АД 0,324
Н3 0,01 ШЕР | МЭК2(O) 0,019 МЭК2 0,016
ФР | ZC(O) 0,037 ФР 0,036
АД | ZC(О) 0,038 АД 0,037
0,05 ШЕР | МЭК2(O) 0,075 МЭК2 0,071
ФР | АД(O) 0,120 АД 0,119
ФР | ZC(O) 0,120 ФР 0,118
АД | ZC(O) 0,122 АД 0,119
ФР | АД(П) 0,120 АД 0,119
0,1 ШЕР | МЭК2(O) 0,140 МЭК2 0,133
ФР | АД(П) 0,198 АД 0,197
0,15 ШЕР | МЭК2(O) 0,200 МЭК2 0,191
МЭК2 | ШВ(O) 0,206 ШВ 0,202

Из таблицы 5 видно, что превышения мощности пары критериев над мощностью наиболее мощного критерия пары в ряде случаев несущественны и обусловлены, возможно, исключительно погрешностью определения. Но есть и довольно значительные различия. Таким образом, существует принципиальная возможность повышения мощности путём применения пар критериев. Наиболее значительные различия встречаются в парах с участием критериев Шермана или Шварца.

Если сравнивать мощности пар критериев с наиболее мощными отдельными критериями (из рассмотренных в [1]) для различных объёмов выборки и уровней значимости при альтернативных гипотезах Н1, Н2 или Н3, то пары критериев мощнее отдельных критериев в нескольких случаях, показанных в табл. 6.

Таблица 6 - Пары критериев, превышающие по мощности наиболее мощный критерий из рассмотренных в [1]. Объём выборки 20
Альтернативная
гипотеза
Уровень значимости Пара критериев Наиболее мощный
критерий по [1]
Обозначение Мощность
Обозначение Мощность
Н2 0,05 АД | ZC(П) 0,174 ZC 0,167
0,1 АД |ZC(П) 0,260 АД 0,253
0,15 АД | ZC(П) 0,326 АД 0,324
Н3 0,01 АД | ZC(О) 0,038 АД 0,037
0,05 АД | ZC(О) 0,122 АД1 0,119
0,1 ФР | АД(П) 0,198 АД 0,197
____________________
1- такую же мощностть имеют критерии Т1 и ФР

Различия в мощностях невелики. Поэтому, если есть основания принять в качестве альтернативной гипотезу Н2 или Н3, можно для случаев, показанных в табл. 6, применять соответствующие пары критериев, но существенного повышения мощности это не даёт.

Но чаще всего альтернативная гипотеза принимается в общем виде, а именно: распределение не является равномерным. Для этого случая в статье Критерии равномерности. Оценка мощности предложен метод ориентировочного выбора наиболее эффективного критерия путём расчёта относительной мощности по среднему арифметическому или по среднему геометрическому. Метод расчёта приведён в указанной статье. Этот метод использовали для расчёта относительной мощности пар критериев, принимая те же базовые мощности. Результаты показаны в табл. 7

Таблица 7 - Относительная мощность пар критериев при альтернативной гипотезе общего вида. Объём выборки 20
Пара Уровень значимости
0,01 0,05 0,1 0,15 0,01 0,05 0,1 0,15
Относительная мощность по ср. арифм. Относительная мощность по ср. геом.
ШЕР | ФР(П) 0,470 0,600 0,636 0,670 0,302 0,453 0,524 0,579
ШЕР | МЭК2(П) 0,434 0,573 0,638 0,691 0,413 0,565 0,634 0,687
ШЕР | АД(П) 0,502 0,602 0,649 0,685 0,317 0,442 0,522 0,581
ШЕР | ZC(П) 0,472 0,607 0,672 0,719 0,283 0,476 0,594 0,667
ШЕР | ШВ(П) 0,357 0,516 0,586 0,636 0,35 0,507 0,577 0,627
ФР | МЭК2(П) 0,608 0,741 0,782 0,812 0,604 0,737 0,780 0,810
ФР | АД(П) 0,619 0,692 0,729 0,753 0,313 0,475 0,582 0,648
ФР | ZC(П) 0,646 0,722 0,761 0,799 0,280 0,540 0,666 0,742
ФР | ШВ(П) 0,602 0,681 0,715 0,744 0,557 0,641 0,682 0,716
МЭК2 | АД(П) 0,654 0,777 0,806 0,834 0,652 0,774 0,803 0,832
МЭК2 | ZC(П) 0,629 0,747 0,799 0,829 0,628 0,746 0,798 0,828
МЭК2 | ШВ(П) 0,496 0,611 0,682 0,722 0,458 0,592 0,670 0,713
АД | ZC(П) 0,644 0,723 0,769 0,801 0,223 0,538 0,674 0,744
АД | ШВ(П) 0,653 0,708 0,740 0,716 0,592 0,660 0,700 0,691
ZC | ШВ(П) 0,549 0,698 0,733 0,763 0,498 0,650 0,696 0,736
ШЕР | ФР(О) 0,468 0,576 0,630 0,663 0,346 0,503 0,574 0,618
ШЕР | МЭК2(О) 0,425 0,522 0,596 0,644 0,418 0,517 0,591 0,639
ШЕР | АД(О) 0,461 0,576 0,626 0,668 0,315 0,483 0,556 0,610
ШЕР | ZC(О) 0,494 0,602 0,654 0,696 0,426 0,557 0,621 0,668
ШЕР | ШВ(О) 0,348 0,481 0,552 0,601 0,333 0,457 0,527 0,577
ФР | МЭК2(О) 0,462 0,593 0,67 0,712 0,403 0,572 0,659 0,705
ФР | АД(О) 0,615 0,681 0,717 0,750 0,364 0,491 0,593 0,663
ФР | ZC(О) 0,649 0,717 0,761 0,795 0,399 0,598 0,697 0,755
ФР | ШВ(О) 0,485 0,613 0,684 0,725 0,391 0,570 0,659 0,708
МЭК2 | АД(О) 0,458 0,545 0,621 0,669 0,395 0,519 0,608 0,660
МЭК2 | ZC(О) 0,555 0,675 0,731 0,767 0,543 0,664 0,720 0,756
МЭК2 | ШВ(О) 0,530 0,622 0,675 0,720 0,485 0,599 0,662 0,711
АД | ZC(О) 0,696 0,737 0,769 0,800 0,397 0,577 0,677 0,741
АД | ШВ(О) 0,496 0,606 0,679 0,724 0,391 0,550 0,645 0,701
ZC | ШВ(О) 0,554 0,683 0,740 0,773 0,531 0,678 0,737 0,771

Наиболее эффективные по относительной мощности среди пар критериев и критериев, рассмотренных в [1], при альтернативе общего вида, приведены в табл. 8.

Таблица 8 - Наиболее эффективные среди критериев и пар критериев при альтернативе общего вида. Объём выборки 20
Место Уровень значимости
0,01 0,05 0,1 0,15
Критерий/Относительная мощность по ср. арифм.
1 АД | ZC(О)/0,696 МЭК2 | АД(П)/0,777 МЭК2 | АД(П)/0,806 МЭК2 | АД(П)/0,834
2 АД/0,658 ZA/0,753 ZA/0,803 ZA/0,830
Место Уровень значимости
0,01 0,05 0,1 0,15
Критерий/Относительная мощность по ср. геом.
1 МЭК2 | АД(П)/0,652 МЭК2 | АД(П)/0,774 МЭК2 | АД(П)/0,803 МЭК2 | АД(П)/0,832
2 МЭК2 | ZC(П)/0,628 МЭК2 | ZC(П)/0,746 МЭК2 | ZC(П)/0,798 МЭК2 | ZC(П)/0,828

По таблице 8 можно ориентировочно выбрать пару критериев или критерий для оценки равномерности при альтернативной гипотезе общего вида, объёме выборки 20 и принятом уровне значимости. Выбор метода расчёта - по среднему арифметическому или по среднему геометрическому - может основываться на тех же соображениях, что и в статье Критерии равномерности. Оценка мощности (при обсуждении таблиц 5 и 6).

Предположительно, по таблице 8 ориентировочный выбор можно делать и при объёме выборки, немного отличающемся от 20, но при этом процентные точки будут несколько отличаться от приведённых в таблицах 1 и 2.

Выводы
Определены процентные точки критериев, составляющих пары, для оценки равномерности распределения при общепринятых уровнях значимости и объёме выборки 20 (таблицы 1 и 2). Определены мощности пар критериев при различных альтернативных гипотезах (таблицы 3 и 4). Показана принципиальная возможность повышения мощности путём применения пар критериев. Рекомендованы наиболее эффективные пары критериев (таблицы 6, 8).

ЛИТЕРАТУРА
1. Лемешко Б.Ю., Блинов П.Ю. Критерии проверки отклонения распределения от равномерного закона: руководство по применению. М.: ИНФРА-М, 2015.- 183с.

Recommended most effective a couple of assessment tests uniformity of distribution of continuous random variables for different alternative hypotheses.

            Содержание

© В.В. Заляжных
Отзывы, замечания, предложения - z9876543@rambler.ru
При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
Рейтинг@Mail.ru