Критерий Гири в среде R
В.В. Заляжных

,                                 (1)

Здесь , , n – объём выборки, x_i – значения выборки.

Критерий двусторонний, гипотеза нормальности не отвергается при

d_α/2 <= d <= d_1-α/2,

Здесь α - допускаемый (задаваемый) уровень значимости, α/2 и 1-α/2 равны соответствующим значениям функции распределения критерия Гири.

Подробнее о критерии Гири здесь

Часто при проверке гипотез статистическими критериями рассчитывают достигаемый уровень значимости p-value, который более информативен, чем проверка по допускаемому уровню значимости. Для двусторонних критериев

p-value = 2min[F(d),1-F(d)],                (2)

где F(d) –значение функции распределения статистики критерия Гири.

Иначе говоря, при F(d) >= 0,5

p-value = 2[1-F(d)]

При F(d) < 0,5

p-value = 2F(d)

Некоторые процентные точки для статистики (1), полученные статистическим моделированием в MS Excel при моделировании 2*10⁶ выборок для каждого n, показаны в таблице 1.

Таблица 1. Процентные точки d(F) для статистики d

n	F = α/2
	0,005	0,01	0,025	0,05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
30	0,698	0,709	0,726	0,740	0,756	0,774	0,787	0,797	0,807
50	0,719	0,728	0,741	0,752	0,764	0,778	0,788	0,796	0,803
n	F=1-α/2
	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,975	0,99	0,995
30	0,816	0,826	0,837	0,852	0,863	0,873	0,884	0,891
50	0,811	0,818	0,827	0,839	0,848	0,856	0,865	0,871

Расчёт статистики (1) и достигаемого уровня значимости для критерия Гири предусмотрен в популярной программной среде R, версия 4.0.2 (2020-06-22). Как указывают разработчики R, это свободное программное обеспечение, и оно поставляется без всяких гарантий.

В таблице 2 приведены расчёты в R по некоторым критериям нормальности с использованием выборок из стандартного нормального распределения, сгенерированных в R. Расчёты по критерию Гири в R проводятся методом статистического моделирования (методом Монте-Карло), число повторов для каждой выборки задавали равным 1 млн. Обозначения критериев в табл. 2: ШУ – Шапиро-Уилка, ЛФ – Лиллиефорса, ω² – омега-квадрат, АД – Андерсона-Дарлинга.

Таблица 2. Расчёты в R по критериям нормальности.

Выборка		Гири				ШУ	ЛФ	ω2	АД
n	№	d	p по R	F=1-p	p по (3)	p по R
30	1	0,8089	0,4767	0,5233	0,9534	0,6536	0,9931	0,9169	0,8833
	2	0,8677	0,0369	0,9631	0,0738	0,1747	0,0885	0,1002	0,1261
	3	0,7804	0,7517	0,2483	0,4966	0,3212	0,2712	0,1439	0,1741
50	1	0,7991	0,5558	0,4442	0,8884	0,9673	0,8527	0,9547	0,9543
	2	0,7795	0,7831	0,2169	0,4338	0,4553	0,5829	0,4671	0,5144
	3	0,7411	0,9748	0,0253	0,0506	0,0562	0,1329	0,0604	0,0517

Сопоставив данные табл.2 и табл.1, нетрудно убедиться, что для критерия Гири

p = 1 – F                       (3)

Кроме того, соотношение (3) с высокой точностью подтверждается сравнением p, рассчитанных в R, и 1-F, рассчитанных статистическим моделированием в MS Excel. Расхождения не превышали 0,001. При этом к значениям p, рассчитанным в R по другим критериям, значительно более близки p по Гири, рассчитанные по (3) и (2), чем p, рассчитанное по R.

Таким образом, значения p, полученные в R по критерию Гири, ошибочны. Видимо, разработчики не учли, что критерий Гири двусторонний. Значения p следует пересчитывать в значения F по (3), а затем в действительные значения p-value в соответствии с (2).

            Содержание