Уровни значимости критерия Шовене
В.В. Заляжных

Критерий Шовене используется для оценки на грубую погрешность одного сомнительного значения выборки из нормально распределённой случайной величины . Иногда указывают, что критерий Шовене применим для выборок объёмом n не боьше 10 [1] или 20 [2].

Алгоритм критерия Шовене, описанный в [3], можно интерпретировать так:

1). Находят модуль приведённого сомнительного значения t:
t = |хс - хср|/s                 (1)
Здесь хс - сомнительное значение (наибольшее или наименьшее в выборке), хср - среднее значение выборки, s - выборочное среднеквадратическое отклонение
2). Определяют значение интегральной функции стандартного нормального распределения F(t).
3). Рассчитывают вероятность Рпрев получения результата, который по модулю превышает модуль хс:
Рпрев = (1 – F(t))•2                (2)
4). Находят ожидаемое число результатов N, отклоняющихся при данном объёме выборки n от среднего значения больше, чем хс :
N = Рпрев•n                (3)
Если N < 0,5, сомнительное значение считают грубой ошибкой. В зависимости от решаемой измерительной задачи экспериментатор может, как указано в [3], использовать иное значение N.

В литературе встречаются и другие алгоритмы применения критерия Шовене, например, описанные в [1], [2] , которые дают аналогичные результаты.

Преимущество критерия Шовене состоит в том, что нет надобности в таблице критических значений.

Недостатки критерия Шовене:

1). Для критическоих значений N, в частности, для 0,5, в литературе отсутствуют уровни значимости, что снижает информативность критерия.
2). Возможность использовать значение N по выбору экспериментатора без учёта уровня значимости, несомненно, повышает субъективность критерия.

Задачи исследования.

1). Найти уровни значимости для критерия Шовене при критических значениях N в пределах от 0,2 до 0,8 при шаге варьирования 0,1.
2). Найти критические значения N при общепринятых ("стандартных") уровнях значимости.

Результаты исследования.

Выражение (3) с учётом (2) можно представить в виде
1 – F(t) = N/2n                (4)
Выражение (1) для t представляет собой расчётную формулу для критерия Н.В. Смирнова (другое название - критерий Граббса). Следовательно, критерий Шовене сводится к критерию Н.В. Смирнова, но при иных значениях процентных точек. Если подставить в выражение (4) какие-либо значения n и N, можно найти критическое значение t, соответствующее процентной точке критерия Н.В. Смирнова при некотором уровне значимости α, а также выбранному N. Уровень значимости, в принципе, можно найти из таблицы процентных точек критерия Н.В.Смирнова по критическому значению t и объёму выборки n. Однако при округлённых значениях N, равных 0,5 или других, получаются значения t, не соответствующие общепринятым ("стандартным") уровням значимости, и отсутствующие в таблице процентных точек критерия Н.В.Смирнова. Поэтому уровни значимости были рассчитаны методом статистического компьютерного моделированя в MS Excel для максимальных значений выборки. Легко показать, что для минимальных значений выборки уровни значимости будут такими же. Моделировали 106 выборок. Результаты приведены в таблице 1. Прочерки в таблице 1 означают, что уровень значимости меньше 0,000001, т.е. все полученные при моделировании значения N были больше того, по которому определяли уровень значимости.

Таблица 1 - Уровни значимости критерия Шовене в зависимости от N и n.
n N
0,2 0,30,4 0,50,6
3 - - -- -
4 - - -- 0,080
5 - - 0,009 0,068 0,139
6 - 0,007 0,045 0,098 0,159
7 0,002 0,024 0,064 0,114 0,169
8 0,008 0,036 0,0770,125 0,177
9 0,014 0,045 0,0860,132 0,183
10 0,019 0,052 0,092 0,138 0,187
11 0,024 0,057 0,098 0,143 0,191
12 0,027 0,062 0,103 0,147 0,195
13 0,031 0,066 0,1060,151 0,198
14 0,034 0,069 0,1090,154 0,200
15 0,036 0,072 0,113 0,157 0,202
16 0,039 0,075 0,116 0,159 0,204
17 0,041 0,078 0,119 0,162 0,207
18 0,043 0,080 0,1210,164 0,208
19 0,044 0,081 0,1240,166 0,210
20 0,046 0,083 0,125 0,167 0,211
30 0,056 0,095 0,136 0,178 0,221
40 0,063 0,103 0,1440,185 0,226
50 0,067 0,108 0,1490,190 0,230
60 0,070 0,111 0,152 0,192 0,233
70 0,072 0,113 0,154 0,195 0,235
80 0,074 0,115 0,156 0,197 0,237
90 0,076 0,117 0,158 0,199 0,239
100 0,077 0,119 0,160 0,201 0,240

Как видно из таблицы 1, уровни значимости для критерия Шовене заметно зависят как от критического значения N, так и от объёма выборки n. Таблицей 6 можно пользоваться, выбирая необходимое значение N так, чтобы уровень значимости был близок к оптимальному для решения конкретной измерительной задачи.

Но традиционный подход к применению статистических критериев состоит в том, что задаются некоторым приемлемым в конкретном случае уровнем значимости из ряда общепринятых («стандартных»), находят табличное значение критерия при этом уровне значимости, и по этому значению дают ту или иную статистическую оценку. Поэтому были рассчитаны критические значения N при общепринятых уровнях значимости для различных объёмов выборок n. Расчёт проводили, исходя из выражения (4), в которое подставляли различные значения n и соответствующие t, равные табличным значениям критерия Н.В.Смирнова (Граббса) при выбранном уровне значимости, приведённым в [4]. Результаты показаны в таблице 2.

Таблица 2. Критические значения N в зависимисти от объёма выборки и уровня значимости.
n Уровень значимости α
0,01 0,050,1
3 0,744 0,747 0,753
4 0,543 0,574 0,617
5 0,401 0,473 0,546
6 0,311 0,411 0,503
7 0,252 0,368 0,473
8 0,211 0,337 0,450
9 0,182 0,314 0,432
10 0,160 0,296 0,418
11 0,143 0,280 0,405
12 0,129 0,268 0,394
13 0,119 0,257 0,385
14 0,110 0,248 0,377
15 0,102 0,240 0,370
16 0,096 0,233 0,363
17 0,091 0,227 0,356
18 0,086 0,221 0,352
19 0,082 0,215 0,346
20 0,079 0,211 0,342
30 0,057 0,182 0,311
40 0,048 0,166 0,293
50 0,042 0,156 0,282
60 0,039 0,149 0,173
70 0,036 0,144 0,267
80 0,034 0,140 0,263
90 0,033 0,137 0,259
100 0,032 0,134 0,255

Таблицей 2 можно пользоваться, выбирая некоторый уровень значимости и находя по нему критическое значение N. По выбранному N сомнительные значения можно оценивать на грубые погрешности в соответствии с критерием Шовене.

Поскольку критерии Шовене и Смирнова (Граббса) дают аналогичные результаты (при одинаковых уровнях значимости), нет оснований ограничивать область применения критерия Шовене небольшими объёмами выборок.

       ЛИТЕРАТУРА

1. Сергеев А.Г. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник / А.Г. Сергеев, В.В Терегеря. – М.: Издательство Юрайт, 2011. -820 с.
2. Радкевич Я.М. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник для вузов – М.: Высшая школа, 2004. – 767 с.
3. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок: учебник для вузов / Дж. Тейлор. Перевод с английского – М.: Мир, 1985. – 282 с.
4. Лемешко Б.Ю. Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход: монография / Б.Ю. Лемешко, С.Б. Лемешко, Н.С. Постовалов, Е.В. Чимитова.- Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. – 888 с.

Were calculated the levels of significance for test Chauvenet. It is shown that the tests Sovine and N. In.Smirnov (Grubbs) give the same results for the same levels of significance.

        Далее     Содержание
© В.В. Заляжных

При копировании материалов, пожалуйста, ставьте прямую индексируемую ссылку на сайт Рейтинг@Mail.ru